4. Математикалық модельдеудегі матрицалар

4.1 Матрица. Декарттых тензордың матрицалық көрінісі

4.2 Диадиктер, тензорлар және матрица симметриясы

4.3 Екінші рангілі симметриялы тензордың бас мәндері және басты бағыттары

4.4 Екінші рангілі тензорлар дәрежесі. Гамильтон – Кэли арақатынасы

4.5 Тензорлық өріс. Тензорлардың дифференциялдануы

4.6 Қисық сызықты интегралдар. Стокс теоремасы. Остроградский - Гаусс теоремасы

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

4.1 Матрица. Декарттых тензордың матрицалық көрінісі

Өлшемі (MxN) болатын

                ,          (1.111)

 матрицасы берілсін. Егер болса, онда квадраттық матрица деп, ал болса, онда жол матрица деп, болса, онда бағана матрица деп аталады.

Егер

                                                   (1.112)

болса, онда нөлдік матрица деп атаймыз.

Матрицаның қасиеттері:

1)             Егер  және  матрицаларының өлшемі (MxN) болса, онда

                            ,                               (1.113)

матрицасының да өлшемі де (MxN) болады.

2)  Егер  матрицасының өлшемі (MxN) және  скаляр шама болса, онда

                            ,                                (1.114)

матрицасының да өлшемі де (MxN) болады.

3)  Егер  өлшемі  және  өлшемі  болса, онда

                            ,                           (1.115)

матрицасының өлшемі (MxN) болады.

4)  Егер

                            ,                              (1.116)

болса, онда  матрицасы ерекше матрица деп аталады.

  ,                                (1.117)

(1.117) өрнегі А матрицасының А_ij элементінің алгебралық толықтауышы деп аталады. Мұндағы М_ij - А_ij элементінің миноры. Егер матрицаның әрбір элементін, оның алгебралық толықтауышымен алмастырып, одан кейін жолдары мен бағаналарының орның ауыстырғаннан шыққан жаңа матрица тіркелген матрица деп аталады.

              ,                         (1.118)

түріндегі матрица кері матрица деп аталады. Кері матрица үшін коммутативті заң орындалады. Яғни,

                            ,                            (1.119)

мұндағы І – бірлік матрица.

Матрицалар және тензорлар терминінде тензорларға қолданылатын амалдар.

а) Векторлардың скаляр көбейтіндісі:

   ,    ,    ,      (1.120)

    .

б) Вектордың екінші рангілі тензорға скаляр көбейтіндісі:

                           ,    ,     ,             (1.121)

в) Вектордың тензорға скаляр көбейтіндісі:

, ,.   (1.122)